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Skip to content. Cosme CC. This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Privacy Overview This website uses cookies to improve your experience while you navigate through the website. Privacy Overview. Necessary Always Enabled. De tal suerte, as como de una idea surge otra, de aquel hecho nacieron luego muchos otros. Meditando en ello, decid tomarme el trabajo de escribir este utilsimo y selecto compendio de las ciencias matemticas, y junto con l, para bien de todos, dar a sus cuerpos la debida y caracterstica forma material, por mi propia mano, y ofrecerlos junto con este compendio a Vuestra Ducal Alteza.
No dudo de que por su inusitado aspecto, como cosa, para nuestros tiempos, venida del cielo, vuestro gil y perspicaz intelecto encontrar en l grandsimo placer, mxime cuando, con esa luz que dijimos, no con menor empeo que los antiguos egipcios en aquel eclipse, encontrar, con la ayuda del presente tratado, las causas de tales formas y su dulcsima armona. Por eso, estoy seguro de que si, en el pasado, a quien conociera en parte tales ciencias y disciplinas Vuestra Alteza le ofreci su vasto y amplio apoyo, en el futuro habr de mostrrsele mucho ms magnnimo, y amplsimo, y de que con mayor empeo y diligencia exhortar a adquirirlas a sus queridos familiares, respetuosos sbditos y a los dems seres dilectos.
En efecto, dichas ciencias matemticas son el fundamento y peldao para llegar al conocimiento de toda otra ciencia, por estar ellas en el primer grado de certeza, tal como lo afirma el filsofo cuando dice: Mathematicae enim scientiae sunt in primo gradu certitudinis et naturales sequuntur cas. Y sin su conocimiento sera imposible entender bien ninguna otra, pues reza adems la Sabidura: omnia consistunt in numero, pondere et mensura, es decir que todo lo que est distribuido en el universo inferior y superior est necesariamente sometido a nmero, peso y medida.
Y por esta amorosa exhortacin comprendo que muchos que ignoran la utilidad de tal fruto suavsimo habrn de despertar de su sopor y sueo mental y con todo empeo y solicitud se entregarn por completo a inquirir tales cosas, y habr en ellas motivo para que en su tiempo se renueve el siglo, y para llegar con mayor verdad y presteza a la perfeccin en todos sus estudios, de cualquier ciencia.
Y por su cotidiana experiencia bien sabe Vuestra Ducal Alteza pues por muchos aos ya su clarsima memoria paterna para toda Italia y ambas Galias, cisalpina y transalpina, ha sido consejero, preceptor y ejemplo que la defensa de las grandes y pequeas repblicas, por otro nombre llamada arte militar, no es posible practicarla con nobleza, honor y utilidad sin el conocimiento de la geometra, aritmtica y proporcin.
Bien mirado, en general todas sus artilleras, sean cuales fueren, como bastiones y otros reparos, bombardas, trabucos, manganillas, ronfeas, balistas, catapultas, arietes, testudos, casias, con todas las dems innumerables mquinas, ingenios e instrumentos, siempre se fabrican y disponen a fuerza de nmeros, medida y proporcin.
Qu otra cosa son ciudadelas, torres, revellines, muros, antemurales, fosos, torreones, merlones, manteletes y otras fortificaciones en los campos, ciudades y castillos, sino todo geometra y proporciones, con sus debidos niveles y arcos, pndulos, pesados y ajustados?
Y de dichas mquinas e instrumentos, ordenada y fielmente, tal como pone en su libro dicho riminense, y de muchas otras ms, la felicsima memoria del pariente y estrecho afn de Vuestra Alteza, FEDERICO FELTRENSE, ilustrsimo Duque de Urbino, hizo adornar, al pie, todo el estupendo edificio de su noble y admirable palacio en Urbino, cindolo con decoracin de bella piedra viva, por manos de dignsimos tallistas y escultores. Lo mismo dgase, entre otras cosas, del puente artificial de JULIO CSAR, tal como se lee en sus Commentarii; y, tambin hasta hoy, en la digna ciudad tudertina de Umbria, en la iglesia de nuestro santo afortunado y sagrado convento, de la gran multitud de gruessimas maromas de vuestra clarsima y paterna memoria, pendientes en pblico, las cuales dispuso, en debida forma para un puente sobre el Tiber, a fin de lograr su famosa victoria.
Asimismo, no por otros medios llega nuestro sutilsimo ESCOTO a las grandes especulaciones de sagrada teologa, sino por el conocimiento de las disciplinas matemticas, segn se ve a travs de todas sus obras sagradas, mxime si se mira bien la cuestin de su segundo libro de las Sentencias, cuando en su indagacin pregunta si el ngel tiene lugar propio para su existencia, en lo cual demuestra claramente haber entendido todo el sublime volumen de nuestro perspicacsimo filsofo megarense[11] EUCLIDES.
No por otra cosa, asimismo, todos los textos del prncipe di color che sanno, Physica, Metaphysica, Posteriosa, y los dems, parecen difciles, sino por la ignorancia de las antedichas disciplinas.
Ni por otra cosa hay penuria de buenos astrnomos, sino por el defecto de aritmtica, geometra, proporciones y proporcionalidades. Cuadro de Boltraffio. Coleccin Trivulzio, Miln. En aquel tratado, emple siempre figuras geomtricas rectilneas y curvilneas, citando a cada momento a nuestro sagacsimo filsofo EUCLIDES, y concluy su obra con grandsima sutileza.
Nada dir de la dulce y suave armona, ni de la suma belleza y confortacin intelectual de la perspectiva y de la diligentsima disposicin de la arquitectura, ni de la descripcin del universo martimo y terrestre, ni de la doctrina de los cuerpos y aspectos celestes, porque lo que de esas materias hasta ahora se ha dicho est claro.
Dejo, para no cansar demasiado al lector, otras ciencias muy prcticas y especulativas con todas las artes mecnicas necesarias en las cosas humanas, sin cuya ayuda no es posible lograr stas ni mantener en ellas el debido orden.
Y as, no nos asombre el que sean pocos en nuestros tiempos los buenos matemticos, pues es causa de ello la escasez de buenos preceptores, junto con la gula, el sueo y las ociosas plumas, y en parte la debilidad de los ms recientes ingenios. De ah que entre los sabios, segn un proverbio comn, hubo costumbre de decir, con gran acierto: Aurum probatur igni et ingenium matcmaticis, esto es, que la bondad del oro la demuestra el fuego, y la rara calidad del ingenio las disciplinas matemticas, con lo cual se quiere decir que el buen ingenio es aptsimo para las matemticas [][12], que son de grandsima abstraccin y sutileza, porque siempre deben considerarse hermanas de la materia sensible.
Y, en verdad, son tales que, como se suele decir en un proverbio toscano, cortan un pelo en el aire. Por lo cual, no sin razn, el antiguo y divino filsofo PLATN negaba a los inexpertos en geometra el acceso a su celebrrimo Gimnasio, sobre cuya puerta principal, hizo poner en grandes y bien legibles caracteres una breve inscripcin con estas formales palabras: Nemo huc geometriae expers ingrediat.
Es decir que quien no fuese buen gemetra no entrara all. Lo cual hizo porque en ella se encuentra oculta toda otra ciencia. Y esto, al presente, valga de recomendacin a los matemticos. El nmero de stos empieza a crecer no poco en esta vuestra nclita ciudad, hoy en da, gracias a Vuestra Ducal Alteza, por la asidua lectura pblica que volvisteis a introducir, con provecho de los ilustres oyentes, a quienes en tales materias, conforme a la gracia a m claramente concedida por el Altsimo, y con toda diligencia a juicio de ellos , expongo el sublime volumen del ya nombrado EUCLIDES sobre las ciencias de aritmtica y geometra, proporciones y proporcionalidades.
Y ya he puesto dignsimo fin a sus diez libros, introduciendo en su teora tambin nuestra prctica, para mayor utilidad e inteligencia de ellos, y dedicando al presente desarrollo de este tratado el resto del tiempo. Este vocablo matemtico, oh excelso Duque, deriva del griego , que en nuestro idioma es como decir disciplinable, y, para nuestro propsito, por ciencias y disciplinas matemticas se entienden la aritmtica, geometra, astronoma, msica, perspectiva, arquitectura y cosmografa, y cualquier otra dependiente de stas.
Sin embargo, los sabios suelen llamar as las cuatro primeras, es decir, aritmtica, geometra, astronoma y msica, y las otras se llaman subalternas, es decir, dependientes de estas cuatro. Si dicen que la msica contenta al odo, que es uno de los sentidos naturales, tambin la perspectiva contenta a la vista, la cual es tanto ms digna cuanto que es la primera puerta del intelecto; si dicen que aqullas se refieren al nmero sonoro, y a la medida referida al tiempo de sus prolaciones, tambin sta se refiere al nmero natural segn todas sus definiciones y a la medida de la lnea visual.
Si aqulla recrea el nimo con la armona, tambin sta procura gran deleite con la debida distancia y la variedad de los colores. Si aqulla considera sus proporciones armnicas, tambin sta considera las aritmticas y geomtricas. Y, breviter, oh excelso Duque, y esto hace varios aos que se agita en mi mente, tampoco nadie me ha aclarado por qu han de ser cuatro ms bien que tres o cinco.
Con todo, estimo que tantos sabios no se equivocan. Pero, por ms que digan, mi ignorancia no se dasarraiga. Oh Dios! Quin, viendo una airosa figura, bien dispuesta con sus lineamientos debidos, a la que slo pareciera faltarle el aliento, no la juzgara ms bien cosa divina que humana?
Y la pintura imita insuperablemente a la naturaleza. Esto se muestra con toda evidencia a nuestros ojos en el exquisito simulacro del ardiente deseo de nuestra salvacin, en el cual no es posible imaginar a los apstoles prestando ms viva atencin al sonido de la voz de la infalible verdad cuando dijo: unus vestrum me traditurus est, y donde, con actos y gestos, unos a otros con viva y afligida admiracin parece que hablan: tan dignamente con su donosa mano lo dispuso nuestro LIONARDO.
Y el otro hizo un velo, y habindolo expuesto tambin l en pblico le dijo ZEUXIS, creyendo que era un velo que cubra su obra hecha en desafo: quita el velo y deja ver la tuya a todos, como yo hago ver la ma, y as qued vencido. Porque si l enga a los pjaros, animales irracionales, PARRASIO enga a un racional y maestro, si tal vez el gran deleite y el sumo amor por la pintura aunque ignorante de ella no me engaa.
Y, universalmente, no es gentil espritu quien no gusta de la pintura, cuando sta atrae a s tanto al animal racional como al irracional. De ah que, por ahora, si no sobreviene otra cosa, me quedar con esto: que son tres las principales ciencias y las otras son subalternas; o bien cinco. Si ellos hacen entrar a la msica, de ninguna manera me parece que haya que postergar a la perspectiva, puesto que no es menos digna de alabanza. Y estoy seguro de que, por no ser artculo de fe, me ser tolerado.
Y esto es cuanto a dicho nombre se refiere. En adelante, para mayor facilidad hay que observar lo siguiente: cuando aduzcamos, segn el caso, la primera del primero, la cuarta del segundo, la dcima del quinto, la vigsima del sexto, y as sucesivamente hasta el decimoquinto, hay que entender siempre para la primera indicacin el nmero de las conclusiones y para la segunda indicacin el nmero de los libros de nuestro filsofo EUCLIDES, al cual seguimos del todo como gua supremo de estas facultades.
Esto es, que al decir por la quinta del primero quiere decir por la quinta conclusin de su primer libro; y as para los otros libros parciales de su libro total sobre los elementos y primeros principios de aritmtica y geometra. Pero cuando la autoridad aducida por nosotros fuere de otra obra suya, o de otro autor, nombraremos esa obra y ese autor.
Usaremos, adems, muchos varios caracteres y abreviaturas que en tales facultades se acostumbra usar, mxime para nosotros, tal como se requiere tambin en todas las dems.
Y as la medicina usa los suyos para escrpulos, onzas, dracmas y manpulos; los plateros y joyeros para granos, dineros y quilates; los astrlogos los suyos para Jpiter, Mercurio, Saturno, Sol, Luna, y as los otros usan los suyos.
Y los mercaderes, para liras, sueldos, gruesas y dineros, los usan tambin por brevedad. Y esto slo para evitar la prolijidad de la escritura y tambin de la lectura, pues de otro modo se llenara de tinta mucho papel. De modo parecido, nosotros tambin en las matemticas, para el lgebra, es decir, prctica especulativa, usamos otros que significan cosa, censo y cubo, y los dems trminos, como se ve en nuestra citada obra.
Tambin en este tratado usaremos algunos de ellos, y son los que hemos puesto en la tabla al comienzo. Asimismo, estos nombres: multiplicacin, producto y rectngulo significan la misma cosa; y tambin stos: cuadrado de una cantidad y potencia de alguna cantidad son la misma cosa, pues la potencia de la lnea es su cuadrado, por la ltima[13] del primer libro y [, en efecto,] la mayor potencia[14] de una lnea es su cuadrado[15].
Es conveniente, pues, que estas cosas se tengan en cuenta en el curso de nuestra obra, para que no haya equvocos sobre el sentido de las palabras. Me parece, oh excelso Duque, que el ttulo que conviene a nuestro tratado debe ser La Divina Proporcin. Y esto por muchas correspondencias que encuentro en nuestra proporcin y que en este nuestro utilsimo discurso entendemos que corresponden, por semejanza, a Dios mismo.
De ellas, entre otras, ser suficiente, para nuestro propsito, considerar cuatro. La primera es que ella es una y nada ms que una; y no es posible asignarle otras especies ni diferencias Y esta unidad es el supremo epteto de Dios mismo, segn toda la escuela teolgica y tambin filosfica. La segunda correspondencia es la de la Santa Trinidad.
Es decir, as como in divinis hay una misma sustancia entre tres personas, Padre, Hijo y Espritu Santo, de la misma manera una misma proporcin de esta suerte siempre se encontrar entre tres trminos, y jams se puede encontrar algo de ms o de menos, segn se dir. La tercera correspondencia es que as como Dios, propiamente, no se puede definir, ni puede ser entendido por nosotros con palabras, de igual manera esta nuestra proporcin no puede jams determinarse con nmero inteligible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que siempre es oculta y secreta, y los matemticos la llaman irracional.
La cuarta correspondencia es que, as como Dios jams puede cambiar, y es todo en todo y est todo en todas partes, de la misma manera nuestra presente proporcin siempre, en toda cantidad continua y discreta, sea grande o pequea, es la misma y siempre invariable y de ninguna manera puede cambiarse, ni tampoco puede aprehenderla de otro modo el intelecto, segn nuestras explicaciones demostrarn. La quinta correspondencia se puede, no sin razn, agregar a las antedichas; es decir, as como Dios confiere el ser a la virtud celeste, con otro nombre llamada quinta esencia, y mediante ella a los cuatro cuerpos simples, es decir, a los cuatro elementos, tierra, agua, aire y fuego, y por medio de stos confiere el ser a cada una de las otras cosas en la naturaleza, de la misma manera esta nuestra santa proporcin da el ser formal segn el antiguo PLATN en su Timeo al cielo mismo, atribuyndole la figura del cuerpo llamado dodecaedro o, de otra manera, cuerpo de doce pentgonos; el cual, como ms abajo se mostrar, no es posible formarlo sin nuestra proporcin.
Y, asimismo, a cada uno de los otros elementos asigna sus formas respectivas, todas distintas entre s; es decir, al fuego la figura piramidal llamada tetraedro; a la tierra la figura cbica, llamada hexaedro; al aire la figura llamada octaedro, y al agua la llamada icosaedro.
Y estas formas y figuras los sabios declaran que son todos los cuerpos regulares, como de cada una por separado se dir ms abajo. Y luego, mediante stos, nuestra proporcin da forma a otros infinitos cuerpos llamados dependientes.
Y todo esto se ver ms abajo. Bastar sealar esas correspondencias, aunque muchas otras podran aducirse, para la adecuada denominacin del presente tratado. Esta nuestra proporcin, oh excelso Duque, es tan digna de prerrogativa y excelencia como la que ms, con respecto a su infinita potencia, puesto que sin su conocimiento muchsimas cosas muy dignas de admiracin, ni en filosofa ni en otra ciencia alguna, podran venir a luz.
Y, ciertamente, esto le es concedido como don por la invariable naturaleza de los principios superiores, segn dice nuestro gran filsofo CAMPANO, famossimo matemtico, a propsito de la dcima del dcimocuarto[16] mxime cuando se ve que ella hace armonizar slidos tan diversos, ya por tamao, ya por multitud de bases, y tambin por sus figuras y formas, con cierta irracional sinfona, segn se comprender en nuestras explicaciones, y presenta los estupendos efectos de una lnea dividida segn esa proporcin, efectos que verdaderamente deben llamarse no naturales sino divinos.
El primero de ellos, para entrar a enumerarlos, es el que sigue [en el prximo captulo]. Cuando una lnea recta se divide segn la proporcin que tiene el medio y dos extremos que as, con otro nombre, llaman los sabios a nuestra exquisita proporcin , si a su parte mayor se agrega la mitad de toda la lnea as proporcionalmente dividida, se seguir necesariamente que el cuadrado de su conjunto siempre es quntuplo es decir, cinco veces mayor del cuadrado de dicha mitad del total.
Isabella dEste, esposa de Ludovico el Moro. Detalle del cuadro atribuido a Bernardino de Conti. Pinacoteca de Brera, Miln. Antes de seguir adelante, hay que aclarar cmo debe entenderse e incluirse dicha proporcin entre las cantidades y cmo la llaman los ms sabios en sus obras. Pues digo que la llaman proportio habens medium et duo extrema, es decir, proporcin que tiene el medio y dos extremos[17], que es lo que ocurre a todo ternario, pues cualquiera que sea el ternario elegido, tendr siempre el medio con sus dos extremos, porque nunca se entendera el medio sin ellos.
Se ensea a dividir de este modo una cantidad en la vigsimonovena[18] del sexto, habindose antes explicado, en la tercera definicin del sexto, cmo debe entenderse tal divisin. Y esto en cuanto a su denominacin. Entendido cmo se designa nuestra proporcin con su nombre particular, queda por aclarar cmo debe entenderse dicho medio y tambin los extremos en cualquier cantidad, y qu condiciones es necesario que cumplan para que entre ellos se d dicha divina proporcin.
Por esto, hay que saber, como se dice en el quinto, que entre tres trminos de un mismo gnero siempre hay, necesariamente, dos habitudes, es decir proporciones; a saber, una entre el primer trmino y el segundo, otra entre el segundo y el tercero.
Verbi gratia: sean tres cantidades del mismo gnero que de otra manera no se entiende que haya entre ellos proporcin , sea la primera a y sea 9 como nmero; la segunda sea b y 6; la tercera c y 4. Digo que entre ellas hay dos proporciones, una de a y b, es decir, del 9 con el 6, la cual, entre las comunes, en nuestra obra llamamos sesquiltera, y es cuando el trmino mayor contiene al menor una vez y media, pues el 9 contiene al 6 y adems al 3, que es la mitad de 6, y por esto se llama sesquiltera.
Pero como aqu no entendemos hablar de las proporciones en general, por haberlas tratado y aclarado amplia y completamente, junte con las proporcionalidades, en nuestra obra antes citada, por eso no me preocupo en extenderme especialmente sobre ellas, sino que extrema y media razn, todo lo que en comn se ha dicho de ellas debe presuponerse con sus definiciones y divisiones.
Y slo sobre esta nica proporcin ser ahora nuestro discurso, porque no encontramos a nadie que la haya tratado antes con tales y tan tiles explicaciones. Ahora bien, volviendo a nuestro propsito de las tres cantidades, sea, adems, de la segunda, b, con la tercera, c, es decir del 6 con el 4, otra proporcin igualmente sesquiltera.
De si stas son smiles o dismiles no nos preocupamos ahora, pues nuestra intencin es slo aclarar cmo entre tres trminos de la misma especie deben darse necesariamente dos proporciones.
Digo que, de igual modo, nuestra divina proporcin observa las mismas condiciones; es decir que siempre entre sus tres trminos, el medio y los dos extremos, invariablemente contiene dos proporciones siempre de una misma denominacin. Y esto, para las otras, sean continuas o discontinuas, puede suceder de infinitos modos, pues a veces entre sus tres trminos ser duplo, otras veces triple, y sic in ceteris para todas las especies comunes. Pero entre el medio y los extremos de esta proporcin nuestra no es posible que haya variaciones, como se dir.
De esto, con toda razn, hago la cuarta correspondencia con el Sumo Hacedor, pues debe considerarse, entre las otras proporciones, sin especies u otra diferencia, observando las condiciones de sus definiciones. En esto la podemos asemejar a nuestro Salvador, el cual vino, no para violar la Ley, sino para cumplirla, y, habindose hecho hombre entre hombres, se someti y obedeci a MARA y JOS. Por esto hay que saber, para poder reconocerla entre las cantidades que se presenten, que siempre entre sus tres trminos se la encuentra dispuesta en proporcionalidad continua, de este modo: que el producto del menor extremo por la suma del menor y el medio es igual al cuadrado del medio, y, en consecuencia, por la dcima[19] definicin del quinto, dicha suma ser necesariamente su extremo mayor; y cuando se encuentren as ordenadas en tres cantidades de cualquier gnero, se dice que ellas estn segn la proporcin que tiene el medio y dos extremos; su extremo mayor es siempre la suma del menor y el medio, y podemos decir que dicho extremo mayor es toda la cantidad dividida en aquellas dos partes, es decir, extremo menor y medio de ese conjunto de trminos.
Hay que notar por qu dicha proporcin no puede ser racional, y por qu el extremo menor no puede nunca, con respecto al medio, denominarse por nmero alguno, siendo racional el extremo mayor; pues siempre sern irracionales, como abajo se dir claramente.
Y esto, de la tercera manera, concuerda con Dios, ut supra. Debemos saber que, considerndolo bien, esto de la divisin de una cantidad segn la proporcin que tiene el medio y dos extremos quiere decir: hacer de aquella cantidad dos partes desiguales tales que el producto de la menor por toda esa cantidad indivisa sea cuanto el cuadrado de la parte mayor, como por la tercera definicin del sexto declara nuestro filsofo.
Pero, puesto el caso de que resultara molesto dividir dicha cantidad segn la proporcin que tiene el medio y dos extremos, y se quisiera, en cambio, hacer dos partes tales que el producto de una por toda dicha cantidad sea igual al cuadrado de la otra parte, quien entienda bien y sea experto en el arte deber reducir la proposicin a dicha proporcin nuestra, pues de otra manera no puede interpretarse.
As, a quien se le dijera: hazme de 10 dos partes tales que, multiplicada una por 10, haga cuanto la otra multiplicada por s misma, tratando este caso y otros semejantes, segn las indicaciones que hemos dado en la prctica especulativa llamada lgebra, y almucabala por otro nombre, y la regla que sobre este punto damos en dicha obra nuestra, encontrar como solucin que una parte, es decir, la menor, es 15 menos raz de y la otra mayor es raz de menos 5.
Y estas partes, as descritas, son irracionales, y en el arte se llaman residuos, cuyas especies, segn seala nuestro filsofo en la septuagsimonona[20] del dcimo, son 6. Y vulgarmente dichas partes se enuncian as: la menor, 15 menos raz de Y esto significa que, tomada la raz de , que es poco ms de 11, y sustrada de 15, quedar poco ms de 3, o, digamos, poco menos de 4.
Y la mayor se enuncia: raz de menos 5; y quiere decir que, tomada la raz de , que es poco ms de 11, como se dijo, restndole 5, quedara poco ms de 6, o, digamos, poco menos de 7 para dicha parte mayor. Pero tales operaciones de multiplicar, sumar, sustraer, dividir residuos, binomios y races y todas las dems cantidades racionales e irracionales, enteras y quebradas, en todos los modos, por haberlos demostrado cabalmente en la citada obra nuestra, no me preocupo de repetirlas en este tratado, pues slo se trata de decir cosas nuevas y no las ya dichas y reiteradas.
Dividida as toda cantidad, tendremos siempre tres trminos ordenados en la proporcionalidad continua segn la cual uno es toda la cantidad as dividida, es decir el extremo mayor, como aqu, en el caso propuesto, 10; el otro es la parte mayor, es decir, el medio, como la raz de menos 5; y el tercero, la menor, es decir, 15 menos raz de Entre stos hay la misma proporcin, es decir, del primero al segundo como del segundo al tercero, y as, a la inversa, del tercero al segundo como del segundo al primero.
Y tanto da multiplicar el menor, es decir, 15 menos raz de , por el mayor, que es 10, cuanto multiplicar el medio por s mismo, es decir, raz de menos 5, pues tanto uno como otro producto da menos raz de Por esto se dice que 10 est dividido segn la proporcin que tiene el medio y dos extremos, y su parte mayor es raz de menos 5, y la menor es 15 menos raz de , siendo necesariamente una y otra irracionales como se prueba por la sexta del decimotercero, y tambin en la undcima del segundo y en la decimosexta del noveno.
Y esto es todo lo que se refiere a la cantidad as dividida. Como en nuestra explicacin se dar a menudo el caso de nombrar races, estimo importante aclarar aqu el asunto, pero sucintamente, pues en nuestra obra se habl de ello con amplitud y en todas sus formas.
Digo, sin embargo, que la raz de una cantidad es tambin una cantidad que, multiplicada por s misma, da aquella cantidad de la cual se dice que es la raz, y esa multiplicacin de la raz por s misma se llama cuadrado de dicha raz. As como decimos que la raz de 9 es 3, y la de 16 es 4, y la de 25 es 5, as para los otros, tanto 9 como 16 y 25 se llaman cuadrados. Y con respecto a esto es preciso saber que hay cantidades que no tienen raz que pueda indicarse exactamente con un nmero.
As, 10 no tiene ningn nmero que multiplicado por s mismo d justamente el mismo 10, y as 11, 12, 13 y otros semejantes. Por tanto, hay o se originan dos suertes de races, una llamada discreta, es decir, racional, y es aquella que se puede designar justamente con un nmero, como la raz de 9 es 3; y la otra se llama sorda y es la que no se puede indicar exactamente con un nmero, como hemos dicho de la raz de 10 y otros.
Y stas con otro nombre se llaman irracionales, pues todas aquellas cantidades que no se pueden designar exactamente con un nmero se llaman, en el arte, irracionales, y aquellas que se pueden designar con un nmero se llaman racionales. Y baste esto sobre las races, para nuestro propsito. Y ahora que hemos considerado bien estas cosas, volvamos al primer efecto a que nos hemos referido y aclarmoslo con ejemplos evidentes. Para dilucidarlo, volvamos a tomar el mismo caso de 10, aducido en aquel lugar, sin afanarnos especialmente por otras difciles cantidades, pues en todas sucede lo mismo que lo que se dice para este ejemplo.
Y por medio de la aritmtica, para mejor conocimiento de Vuestra Alteza, iremos pasando a todos los dems, presuponiendo siempre que las pruebas cientficas de todo lo que aparezca en nuestras explicaciones y que hayamos de aducir de nuestro EUCLIDES estn geomtricamente determinada con toda diligencia, segn lo que en cada caso exigen las conclusiones.
Digo, pues, que dividido 10 segn nuestra proporcin, su parte mayor es raz de menos 5, y agregndole, por dicha propiedad, 5, es decir la mitad del todo, que es 10, dar raz de exactamente, pues aquel menos 5 se compensa y llena con ms 5, mitad de Este conjunto, es decir raz de , que multiplicado por s mismo da , tiene un cuadrado que es 5 veces el cuadrado de la mitad de 10 que es 5, y su cuadrado Por lo tanto es justamente el quntuplo de dicho 25, cuadrado de dicha mitad de 10, como se dijo.
Y este resultado se cumple con toda cantidad, cualquiera sea su naturaleza, como lo demuestra claramente la primera del decimotercero de nuestro gua. Si se divide una cantidad en dos partes y a una de ellas se agrega una cantidad tal que el cuadrado de este conjunto sea quntuplo del cuadrado de la cantidad aadida, se sigue necesariamente que dicha cantidad aadida es la mitad de la primera cantidad dividida en dichas partes, y que aquella a la cual se aade es su parte mayor, y que toda ella est dividida en tales partes segn nuestra proporcin.
Verbi gratia: tmese 15 menos raz de y raz de menos 5 como las dos partes integrales de una cantidad, y agregado 5 a la una, es decir, raz de menos 5, como tercera cantidad, el conjunto es raz de , cuyo cuadrado es ; y el cuadrado de la cantidad aadida es Por lo tanto es quntuplo de 25, cuadrado de la cantidad aadida.
Digo que la raz de 25, es decir, 5, es la mitad de la primera cantidad dividida en aquellas dos partes, y que aquella a la cual se aadi es la parte mayor de dicha cantidad dividida segn nuestra proporcin que tiene el medio y dos extremos, es decir, de Y este efecto es recproco del efecto precedente, tal como concluye geomtricamente la segunda del decimotercero[21]. Si una cantidad se divide segn nuestra proporcin y si a su parte menor se aade la mitad de la parte mayor, entonces el cuadrado del conjunto ser siempre quntuplo del cuadrado de la mitad de dicha parte mayor.
Verbi gratia: sea 10 la cantidad dividida segn nuestra divina proporcin, de la cual una parte, a saber, la mayor, ser raz de menos 5 y la menor 15 menos raz de Digo que si a 15 menos raz de , que es la menor, se aade la mitad de raz de 25 menos 5, que es la mayor, entonces el conjunto de la menor y de dicha mitad, multiplicado por s mismo, ser 5 veces el cuadrado de la mitad de dicha parte mayor, y as debe ser, pues la mitad de la raz de menos 5 es raz de 31 14 menos 2 12, y agregada a 15 menos raz de , que es la menor, da 12 12 menos raz de 31 14; luego, multiplicando 12 1 menos raz de 31 1 por 12 1 menos raz de 31 1 , da 1 menos raz de Luego elvese tambin al cuadrado la mitad de dicha parte mayor, es decir, multiplquese raz de 31 14 menos 2 12 por raz de 31 14 menos 2 12 y dar 37 12 menos raz de 78 14 y dgase que ste es el cuadrado de la mitad de la parte mayor, que es exactamente 15 del cuadrado del conjunto; y por consiguiente dicho cuadrado del conjunto es quntuplo del cuadrado de la mitad de dicha parte mayor de 10, as dividido.
Y esta virtud es de estimar mucho, junto con las otras, como se prueba todo geomtricamente por la tercera del decimotercero de nuestro maestro. Si una cantidad se divide segn nuestra divina proporcin y si a toda dicha cantidad se aade su parte mayor, entonces esa suma y esa parte mayor sern partes de otra cantidad as dividida; y la parte mayor de esta segunda cantidad as dividida ser siempre toda la primera cantidad.
Verbi gratia: sea 10 la cantidad dividida segn nuestra nica proporcin, tal que su parte mayor sea raz de menos 5 y la menor 15 menos raz de Volume of a regular dodecahedron. It has 8 regular hexagonal faces and 6 square faces. The volume of the tetrahedron.
Are you a frequent reader or book collector? The volume of a cuboctahedron II A cuboctahedron is an Archimedean solid. The truncated octahedron is a dviina polyhedron These polyhedra pack together to fill space, forming a 3 dimensional space tessellation or tilling. You can chamfer a cube and then you get a polyhedron similar but not equal to a truncated octahedron. This reflects the percentage of orders the seller has received and filled.
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Hexagonal section of a cube. Volume of a regular dodecahedron One eighth of a regular dodecahedon of edge 2 has the same volume as a dodecahedron of edge 1. Volume of a regular dodecahedron. You can chamfer a cube and then you get a polyhedron similar but not equal to a truncated octahedron. Translation by Juan Calatrava.
The truncated octahedron is a space-filling polyhedron These polyhedra pack together to fill space, forming a 3 dimensional space tessellation or tilling.
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